В [1,2] для уравнений Н. Ковалевского методами степенной геометрии [3] было найдено 22 семейства степенно-логарифмических разложений решений, имеющих степенные асимптотики. Из них 8 семейств степенных разложений имеют наибольшее возможное число произвольных постоянных, т.е. решения этих семейств заполняют некоторую область фазового пространства, в которой имеется полный набор интегралов, соответствующих этим произвольным постоянным. Однако эти (локальные) интегралы могут существовать не во всем фазовом пространстве, а лишь в его области. В этих случаях аналогичные области и (локальные) интегралы имеются в системе Эйлера-Пуассона. Для поиска этих областей и анализа в них строения фазового пространства было использовано приведение системы уравнений Эйлера-Пуассона к нормальной форме. Обычно нормальная форма вычисляется в окрестности неподвижной точки [4]. Но в [3, гл. III] показано, что с помощью степенного преобразования степенная асимптотика решения переводится в неподвижную точку. Это позволяет вычислять нормальную форму в окрестности степенной асимптотики, что и было сделано для трех из указанных 22 семейств. Нормализация проводилась В.Ф. Еднералом с помощью его программы, написанной в системе MATHEMATICA.
Для частного случая уравнений Эйлера-Пуассона вычислялись нормальные формы в окрестности резонансных неподвижных точек и в окрестности степенных асимптотик решений с различными наборами собственных чисел. Оказалось, что, как правило, уравнения Эйлера-Пуассона локально неинтегрируемы в окрестности неподвижных точек и локально интегрируемы в окрестности степенных асимптотик.
Ниже все векторы обозначаютя заглавными буквами и записываютя как матрицы-строки, а звездочка означает транспонирование.
§ 1. Локальная интегрируемость
В последнее время вырос интерес к интегрируемым системам дифференциальных уравнений. При этом обычно к интегрируемым относят те системы, которые интегрируемы во всем фазовом пространстве. Однако, имеются системы дифференциальных уравнений вида
Ч
x
=jj(X), j=1,…,n, Ч
=d/dt,
(1.1)
X=(x1,…,xn), с полиномиальными правыми частями jj(X), которые интегрируемы лишь в части фазового пространства и неинтегрируемы в другой его части. Конечно, в некоторой окрестности любой нестационарной точки X0, где F(X0) ≠ 0, F[( def) || ( = )] (j1,…,jn), согласно теореме Коши система (1.1) интегрируема. Поэтому вопрос об интегрируемости интересен для множеств, содержащих особенности типа неподвижной точки или периодического решения, или хотя бы примыкающим к особенности.
Пример1.1. Система (28) из [5] при b=1/2, c=-1 имеет вид
Ч
x
=y+2xy, Ч
y
=-x-x2+xy+y2.
(1.2)
Согласно (32) [5] она имеет первый интеграл
[(1+x)2-(1+x)y+y2]|1+2x|-1=c exp й
л 2
--------------------------------------------------------------------------------
Ц3
arc tg 2+2x-y
--------------------------------------------------------------------------------
yЦ3
щ
ы ,
(1.3)
где c - произвольная постоянная. Система (1.2) имеет 2 неподвижные точки
S1={x=y=0}, S2={x=-1, y=0}
(1.4)
и инвариантную прямую
T={x=-1/2}.
(1.5)
В точке S1 она имеет центр, а в точке S2 - фокус. Рис. 1 показывает расположение интегральных кривых системы (1.2) на плоскости (x,y). Система (1.2) интегрируема в окрестности неподвжной точки S1 и в полуплоскости x ≥ -1/2. Но она неинтегрируема в окрестности точки S2 и в полуплоскости x < -1/2. В точке S2 интеграл (1.3) имеет существенную особенность.
Поэтому задачу об интегрируемости можно поставить так: в окрестностях каких особенностей система (1.1) интегрируема, а в окрестности каких ее особенностей она неинтегрируема. Такие интегрируемость и неинтегрируемость будем называть локальными. С малой окрестности особенности такое свойство системы (1.1) распространяется на некоторую максимальную ее окрестность.
§ 2. Нормальная форма
Наиболее просто локальную интегрируемость (или неинтегрируемость) системы (1.1) вблизи особенности можно установить по ее нормальной форме [4, гл. III; 3, гл. V, § 6]. Это справедливо для таких особенностей, как неподвижная точка, периодическое решение, инвариантный тор и аналогичных особенностей в бесконечности. Здесь напомним лишь нормальную форму системы (1.1) в окрестности ее неподвижной точки X0=0, где F(0)=0. Тогда система (1.1) имеет вид
Ч
X
*
=AX*+ ~
F
*
(X),
(2.1)
где векторный многочлен [(F) ilde](X) не содержит свободных и линейных членов. Пусть линейная замена
X*=BY*
(2.2)
приводит матрицу A к жордановой форме J=B-1AB, а всю систему (2.1) - к виду
Ч
Y
*
=BY*+
~
~
F
*
(Y).
(2.3)
Пусть формальная замена координат
Y=Z+X(Z),
(2.4)
где X = (x1,…,xn) и xi(Z) суть формальные степенные ряды без свободных и линейных членов, переводит систему (2.3) в систему
Ч
Z
*
=JZ*+Y*(Z),
(2.5)
где Y(Z) - векторный степенной ряд без свободных и линейных членов. Запишем ее в виде
Ч
z
j
=zjgi(Z)=zj е
gjQYQ по Q О Nj, j=1,…,n,
(2.6)
где Q=(q1,…,qn), YQ=y1q1…ynqn и Nj={Q: Q ∈ Zn, Q+Ej ≥ 0}, j=1,…,n, а Ej - j-й единичный вектор. Положим
N=N1И…ИNn.
(2.7)
Поскольку J - жорданова матрица, то ее диагональ L =(l1,…,ln) сосотоит из собственных чисел матрицы A.
Система (2.5), (2.6) называется резонансной нормальной формой, если:
а) матрица J - жорданова;
б) в записи (2.6) имеются только резонансные члены gjQZQ, для которых скалярное произведение
бQ,Lс def
=
q1l1+…+qnln=0.
(2.8)
Теорема о нормальной форме [4, гл. III]. Существует формальная замена (2.4), приводящая систему (2.3) к нормальной форме (2.5), (2.6).
Свойства нормальной формы и нормализующего преобразования см. там же и в [3, гл. V; 6]. Пусть k - число линейно независимых решений Q ∈ N уравнения (2.8), оно называется кратностью резонанса. Интегрирование нормальной формы (2.6) сводится к решению системы порядка k.
Пример 2.1 (продолжение примера 1.1). В точке S1 для системы (1.2) матрица
A= ж
з
и 0
1
-1
0
ц
ч
ш .
(2.9)
Ее собственные числа l1=i, l2=-i. Нормальная форма системы (1.2) имеет вид
Ч
z
j
=zj й
л lj+ ∞
е
l=1
gjl(z1z2)l щ
ы , j=1,2,
(2.10)
ибо резонансное уравнение (2.8) есть
бQ,Lс def
=
q1l1+q2l2=i(q1-q2)=0
и имеет решения Q=(q1,q2) ∈ N только вида: целые q1=q2=l ≥ 0.
Если положить r = z1z2, то из системы (2.10) выделяется уравнение
Ч
r
=r ∞
е
l=1
(g1l+g2l)rl,
(2.11)
которое явно интегрируется. Для системы (1.2) получается, что все
g1l+g2l=0, l=1,2,
т.е. уравнение (2.11) имеет решение
r = const,
(2.12)
а для системы (2.10) - это первый интеграл. В этом случае нормализующее преобразование сходится в некоторой окрестности точки S1, а r является вещественной величиной для вещественных x и y вида r = x2+y2+…, т.е. аналогично квадрату радииус-вектора. Следовательно, система (1.2) в окрестности наподвижной точки S1 имеет первый интеграл (2.12) , т.е. является локально интегрируемой.
В точке S2 положим x=-1+x, тогда матрица
A= ж
з
з
и 0
-1
1
-1
ц
ч
ч
ш .
Ее собственные числа
l1= -1+iЦ3
--------------------------------------------------------------------------------
2
, l2= -1-iЦ3
--------------------------------------------------------------------------------
2
.
Уравнение (2.8), т.е.
бQ,Lс def
=
q1l1+q2l2=0,
имеет только одно вещественное решение q1=q2=0. Следовательно, нормальная форма является линейной системой
Ч
z
j
=ljzj, j=1,2
(2.13)
и ее решения суть
zj=
~
c
exp lj t, j=1,2.
(2.14)
При этом r = z1z2 и j =-i ln(z1/z2) являются вещественными для вещественных x и y. Они имеют смиысл квадрата радииуса-вектора и полярного угла. В этих координатах решения (2.14) системы (2.13) имеют вид
r =
~
c
e-t, j =√3 (t+t0).
Следовательно, ее интегральные кривые суть спирали
r =
~
c
exp (-j/√3).
В этом случае нормализующее преобразование сходится в некоторой окрестности точки S2. Следовательно, система (1.2) в некоторой окрестности точки S2 неинтегрируема.
§ 3. Первые иинтегралы нормальной формы
Пусть нормальная форма (2.6) линейна
Ч
z
j
=ljzj, j=1,2,…,n
(3.1)
и ln ≠ 0. Тогда она имеет n-1 первый интеграл
zj= м
н
о cj,
если
lj=0,
cjznlj/ln,
если
lj № 0, j=1,…,n-1,
(3.2)
где cj - произвольные постоянные. Пусть a - комплексное число: Re a ≠ 0, Im a ≠ 0. Тогда комплексная функция za устроена довольно сложно в окрестности нуля. Поэтому если хоть одно отношение lj/ln является комплексным числом, то такой случай будем считать неинтегрируемым и в дальнейшем будем рассматривать только случаи, когда все отношения li/ln, i=1,…,n-1 вещественны. Это означает, что в комплексной плоскости все собственные числа l1,…,ln лежат на одной прямой L, проходящей через ноль. Поскольку у нас исходная система вещественна, то эта прямая является либо вещественной либо мнимой осью. Будем различать три случая:
1. На прямой L все числа l1,…,ln лежат по одну сторону от нуля.
2. Несколько чисел li равны нулю, скажем l1=… = ll=0, а остальные числа ll+1,…,ln лежат по одну сторону от нуля.
3. Числа lj расположены по разные стороны от нуля.
Сформулируем условия на нормальную форму (2.5) и вектор L, обеспечивающие сходимость нормализующего преобразования в этих случаях [6].
Условие A. В случае 1 нет ограничений на нормальную форму (2.5); в случае 2 в нормальной форме (2.5) y1 ≡ … ≡ yl ≡ 0; в случае 3 существует такой степенной ряд a(Z), что все
yj=ljzj a(Z), j=1,…,n.
(3.3)
В частности, это условие всегда выполнено для линейной нормальной формы (3.1). Пусть
wk= min
|бQ,Lс| по Q О N, бQ,Lс № 0, n
е
j=1
qj < 2k, k=1,2…
Условие w. Сходится ряд
∞
е
k=1
lnwk+1
--------------------------------------------------------------------------------
wk
,
т.е. эта сумма > -∞.
Очевидно, что в случаях 1 и 2 это условие автоматически выполнено. В случае 3 оно выполнено для почти всех векторов L =(l1,…,ln).
Теорема 3.1 [6; 4, гл. III]. Если вектор из собственных чисел L удовлетворяет условию w и нормальная форма (2.6) удовлетворяет условию A, то нормализующее преобразование (2.4) сходится.
Отметим, что в случае 1 нормальная форма полиномиальна. Если собственные числа lj упорядочены по росту |lj|, то нормальная форма имеет треугольный вид
Ч
z
j
=lj zj+dj zj-1+pj(z1,…,zj-1), j=1,…,n,
где dj=0, если lj-1 ≠ lj, а pj содержит только такие мономы
z1 q1 … zj-1 qj -1,
что
lj=q1l1+…+qj-1lj-1.
В этом случае нормализующее преобразование всегда сходится.
Теорема 3.2 [7]. Если у исходной системы имеется первый интеграл [(h) ilde](X)=const в виде ряда по целым степеням X, то в нормальной форме он также является рядом h(Z)=∑ hQZQ по целым степеням Z, содержащим только резонансные мономы hQZQ с б Q,L с = 0.
Отметим, что неинтегрируемость нормальной формы влечет локальную неинтегрируемость исходной системы. Но интегрируемость нормальной формы влечет интегрируемость исходной системы только в случае сходимости нормализующего преобразования, если же оно расходится, то, как правило, исходная система неинтегрируема.
§ 4. Уравнения Эйлера-Пуассона
Систему шести уравнений Эйлера-Пуассона [8], описывающую движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (волчка), рассмотрим в случае A=B=1, C=c, Mgx0=1, y0=z0=0:
Ч
p
=(1-c)qr,
Ч
q
=(c-1)pr-g3,
Ч
r
=g2/c,
(4.1)
Ч
g
1
=rg2-qg3,
Ч
g
2
=pg3-rg1,
Ч
g
3
=qg1-pg2.
(4.2)
Единственный параметр системы c ∈ (0,2]. Она имеет три общих первых интеграла
I1
def
=
p2+q2+cr2+2g1=h=const,
I2
def
=
pg1+qg2+crg3=l=const,
I3
def
=
g12+g22+g32=1.
(4.3)
Это интегралы энергии, момента и геометрический. Как известно [8], система (4.1), (4.2) интегрируема в квадратурах, если она имеет четвертый (дополнительный) интеграл. Он известен в двух случаях: при c=1 (случай Лагранжа)
I4
def
=
p=const
(4.4)
и при c=1/2 (случай С. Ковалевской)
I5
def
=
(p2-q2-g1)2+(2pq-g2)2=k=const.
(4.5)
Теорема 4.1. Система (4.1), (4.2) имеет две пары двупараметрических (по c и p)семейств неподвижных точек
Ss:
p О C, q=0, r=0, g1=s, g2=0, g3=0;
Ts:
p О C, q=0, r=s
Ц
--------------------------------------------------------------------------------
1-(c-1)2p4
/((c-1)p), g1=(c-1)p2,
g2=0, g3=s
Ц
--------------------------------------------------------------------------------
1-(c-1)2p4
; s =±1.
В неподвижных точках семейств Ss два собственных числа нулевые l1=l2=0, а остальные разбиты на пары l3=-l4, l5=-l6. В работах [9,10] в семействе S+ было выделено 2 однопараметричесих (по c) подсемейства S+3±, на которых имеется резонанс l3=2l4. В окрестностях неподвижных точек этих подсемейств вычислялись нормальные формы системы (4.1), (4.2) до членов порядка 6, (т.е. с ∑ qi ≤ 6 в (2.6)), а также - интегралы (4.3), (4.4), (4.5) в нормализованных координатах. Оказалось, что в нормальных формах отсутствуют члены низких порядков (из-за наличия интегралов (4.3)) и младшими являются члены порядка 4. Они аннулируются на обоих семействах только при c=0.5 и c=1. В этих случаях система локально интегрируема в окрестностях неподвижных точек обоих семейств, ибо она глобально интегрируема. Кроме того, для 4 значений c члены порядка 4 аннулируются только на одном из двух подсемейств S+3±. В этих случаях система (4.1), (4.2) локально интегрируема вблизи одной из двух неподвижных точек и локально неинтегрируема вблизи другой. При остальных значениях c система неинтегрируема вблизи обеих точек.
§ 5. Степенное преобразование
Обозначим lnX=(lnx1,…,lnxn). В гл. III книги [3] описывается, как изменяется система (1.1) при степенном преобразовании
(lnX)*=a(lnU)*,
(5.1)
где a - неособая матрица размера n×n. Пусть при замене (5.1) система (1.1) переходит в систему
Ч
U
=H(U).
В этой системе правая часть каждого уравнени я
|